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*n(B)의 값은 다양하게 나올 수 있는데, 오타가 난 것 같습니다.


P(x)의 실근이란 그래프 P(x)와 x축과의 교점의 x좌표를 의미합니다.

방정식 P(x)에서 x에 P(x)의 실근을 대입하면 값은 0이 나옵니다.


두 개의 집합을 정의해보도록 합시다.

P={x l x=P(x)의 실근}, Q={x l x=Q(x)의 실근}


A={(x,y) | P(x)Q(y)=0이고 Q(x)P(y)=0, x와 y는 실수}가 무한집합이라는 것의 의미를 알아보도록 합시다.


여기서 등장하는 방정식은 4개입니다.

P(x), P(y), Q(x), Q(y)



1) P(x)Q(y)=0 

2) P(y)Q(x)=0

두 개의 조건을 동시에 충족시키는 방법은 3개입니다.


1. 집합 P의 원소는 7개이다. 그 중 2개를 선택하여 하나는 x자리에 하나는 y자리에 대입한다.

2. 집합 Q의 원소는 9개이다. 그 중 2개를 선택하여 하나는 x자리에 하나는 y자리에 대입한다.

3. 집합 P∩Q의 원소개수는 알 수 없다. 만약 존재한다면 그 중 1개를 선택하여 x자리 또는 y자리에 대입한다. 대입한 후 나머지 문자에 아무거나 대입해도 조건이 성립한다.


집합 A의 원소가 무한 개라면 방법 몇 번을 따라야 할까요? 방법3입니다.

P∩Q의 원소 중 하나가 a라면 순서쌍 집합A의 원소는 ...,(a,1), (a,2), (a,3),...,(a,100),... 무한개일 것입니다.


그러나 만약 P∩Q의 원소가 없다면 방법1과 방법2만 사용할 수 밖에 없습니다.

방법1로 만들 수 있는 원소는 7*7=49개, 방법2로 만들 수 있는 원소는 9*9=81개 뿐입니다. 무한집합이 만들어질 수 없죠.


따라서 집합A가 무한집합이라는 것의 의미는 n(P∩Q)≥1이라는 의미가 되겠습니다.


여기서 잠깐 곱집합이 무엇인지 간단하게 다루고 넘어가겠습니다.

집합A의 원소는 순서쌍입니다.

일반적으로 우리가 접해온 집합의 원소는 수직선 위에 존재했습니다.

그러나 집합A의 원소는 좌표평면 위에 순서쌍의 형태로 존재합니다.

순서쌍 (1,2)와 (2,1)은 위치가 다르기 때문에 서로 다른 원소인 것이죠.

여기서 집합A를 곱집합이라고 부릅니다. 집합A의 원소 (x,y)는 두 개 집합의 원소의 곱으로 이루어져있기 때문이죠.

여기서의 곱은 산술적인 의미의 곱하기가 아니라 데카르트곱을 의미하는데,

일반적인 곱셈에서는 교환법칙이 성립하는 반면 데카르트곱에서 (x,y)와 (y,x)는 서로 다른 원소로 취급하기 때문에 교환법칙이 성립하지 않습니다.

방법1은 집합P와 집합P의 곱집합을 의미하는데 x자리에 7개의 원소, y자리에 7개의 원소가 올 수 있으므로 이 둘을 곱해 총 49개의 원소가 만들어집니다.


이제 집합B의 의미를 알아보도록 하겠습니다.

B={(x,y) | (x,y)∈A 이고 x=y)

집합B는 무한집합A의 원소로 이루어져 있는데, x=y라는 조건이 추가로 붙어 있습니다.


두 개의 조건을 충족시키기 위해서는 다음 두 가지 과정을 차례로 거치면 됩니다.

1. P∪Q의 원소 중 하나를 골라 x자리에 대입한다.

2. y자리에는 x자리에 대입했던 원소를 그대로 대입한다.


따라서 집합 B의 원소의 개수는 P∪Q의 원소의 개수와 같게 됩니다.

n(B)=n(P)+n(Q)-n(P∩Q) 이므로 n(B)의 최댓값은 n(P∪Q)의 최댓값을 의미하고,

n(P∩Q)의 최솟값이 1이기 때문에 n(B)의 최댓값은 7+9-1=15가 됩니다.



정리)

문제 유형 : 순서쌍 형태의 원소를 갖는 집합과 원소의 개수

해결 원리 : 

1) 두 방정식 P(x)와 Q(x)를 집합으로 표현한다.

2) 집합A의 원소가 순서쌍임을 확인하고, 순서쌍 (x,y)에서 x의 조건과 y의 조건을 각각 파악한 후, 집합A를 무한집합으로 만드는 조건을 추려낸다.

3) 집합B의 원소가 순서쌍임을 확인하고, 순서쌍 (x,y)에서 x의 조건과 y의 조건을 각각 파악한 후, 집합B의 원소개수가 어떻게 정해지는지 이해한다.




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뒤로 후퇴할 위험은 최소한 앞으로 나아갈 기회만큼 큰 것입니다.

현명한 사람이라면 적어도 가진 것을 개선하는 데 쓰는 에너지만큼은 지키는 데에도 써야 합니다._c.s.lewis

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